L'appellation
nombre d'argent a été proposée pour diverses généralisations du
Nombre d'or ; elles sont encore en concurrence actuellement.
Première proposition
Le
Nombre d'or étant la solution positive de l'équation
x 2 = x+1, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci :
u n = u n - 1 +u n - 2 , il a été proposé que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation
x 3 = x 2 +x+1, équation caractéristique de la récurrence :
u n = u n - 1 +u n - 2 +u n - 3 .
Mais cette récurrence ayant été désignée, par un délicieux jeu de mot, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, qui est égale à environ 1,839286755 .
Dans la même veine on trouve aussi la constante, unique solution positive de l'équation x 3 = x+1, équation caractéristique de la récurrence de Padovan : u n = u n - 2 +u n - 3 , mais elle a été rétrogradée au rang de Nombre plastique, ou constante de Padovan.
Deuxième proposition
Un rectangle d'or étant un rectangle qui est semblable au rectangle obtenu en ôtant le plus grand carré inclus, propriété qui équivaut à ce que le rapport longueur/largeur soit égal au nombre d'or, il a été proposé qu'un rectangle d'argent soit un rectangle semblable au rectangle obtenu en ôtant
deux plus grands carrés inclus.
Le rapport Longueur/largeur d'un rectangle d'argent est la solution positive de l'équation x-2 = 1/x soit x 2 = 2x+1 ; il est naturel alors de désigner par nombre d'argent cette solution, égale à .
Notons que si le nombre d'or a pour développement en Fraction continue , ce nombre a pour développement .
Pour éviter un conflit avec la troisième proposition, ce nombre est étudié dans Wikipedia sous le nom de Proportion d'argent, traduction littérale de silver ratio.
La récurrence associée est u n = 2u n - 1 +u n - 2 .
Troisième proposition
L'inverse du nombre d'or étant égal à
| 2 sin {18 ∘ } = 2 sin | { | π
–––
10 | } |
, il a été proposé que le nombre d'argent noté u soit égal à
| 2 sin {10 ∘ } = 2 sin | { | π
–––
18 | } | ≈ 0,3472963554 |
.
Il est la racine positive de l'équation x 3 = 3x-1, associée à la récurrence u n = 3u n - 2 -u n - 3 .
A l'aide du nombre d'or et du nombre d'argent , il est assez facile d'exprimer la table trigonométrique des angles de 1° à 45°, de degré en degré.
En effet ceux-ci sont des multiples de 3 (catégorie I) et/ou 5 (catégorie II) , des multiples de 2(catégorie III), et des premiers (catégorie IV). Les premiers (catégorie IV) sont les complémentaires à 45° de la catégorie III. La catégorie III se calcule aisément à partir des catégories I et II , qui elles-même découlent de u et de φ.
La question reste posée de savoir si on peut faire mieux avec d'autres nombres soit de la classe x² = q - p x, soit de la classe x³ = q - p x.
La Courbe de Lissajous x = sin(u) ~ et y = sin(3u) ~ (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique x = sin(u) ~ et y = sin(5u) ~.
Sans être aussi riche que les recherches faites autour des suites de Fibonacci, le nombre d'argent est l'objet d'études de curieux des mathématiques.
Références
Voir aussi